高考数学全国卷_高考_高中教育_教育专区。2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）=（ ） A．

　　2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）=（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 2．（5 分）设集合 A={1，2，4}，B={xx2﹣4x+m=0}．若 A∩B={1}，则 B=（ ） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 3．（5 分）我国古代数学名著《算法统》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共 挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共 有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 （） A．90π B．63π C．42π D．36π 5．（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 6．（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人 完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说： 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息， 则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（5 分）若双曲线）的一条渐近线，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 10．（5 分）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异 面直线 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．（5 分）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则 f（x）的极 小值为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 12．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则?（+） 的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地 抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX= ． 14．（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 ． 15．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 = ． 16．（5 分）已知 F 是抛物线x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则FN= ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第 17～21 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2． （1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 面积为 2，求 b． 18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获 时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布 直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到）． 附： P（K2≥k） K K2=． 19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣AB ﹣D 的余弦值． 20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线， 垂足为 N，点 P 满足=． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做， 按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（ 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足OM?OP=16，求点 P 的 轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 上，求△OAB 面积的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）=（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【分析】和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质， 求出结果． 【解答】解：===2﹣i， 故选 D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个 复数相除，和分母同时乘以分母的共轭复数． 2．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）设集合 A={1，2，4}，B={xx2﹣4x+m=0}．若 A∩B={1}， 则 B=（ ） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【分析】由交集的定义可得 1∈A 且 1∈B，代入二次方程，求得 m，再解二次方 程可得集合 B． 【解答】解：集合 A={1，2，梦见杀人不见血4}，B={xx2﹣4x+m=0}． 若 A∩B={1}，则 1∈A 且 1∈B， 可得 1﹣4+m=0，解得 m=3， 即有 B={xx2﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法， 运用定义法是解题的关键，属于基础题． 3．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍， 则塔的顶层共有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次 向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值． 【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯， ∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍， ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏， ∴381==127a，解得 a=3， 则这个塔顶层有 3 盏灯， 故选 B． 【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用， 属于基础题． 4．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出 的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几 何体的体积为（ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半， 即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的 一半， V=π?32×10﹣?π?32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值 即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 由解得 A（﹣6，﹣3）， 则 z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 6．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：=6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得：6×=36 种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考 查计算能力． 7．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞 赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的 成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的 成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正 确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知 道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所 说及最后甲说线?新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出 的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 值，当 k=7 时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，k=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7； 7≤6 不成立，退出循环输出，S=3； 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 9．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）若双曲线）的一条渐近线，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线 的离心率即可． 【解答】解：双曲线），半径为：2， 双曲线）的一条渐近线， 可得圆心到直线的距离为：=， 解得：，可得 e2=4，即 e=2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力． 10．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【分析】设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角；根据中位线，结合余弦求出 AC、MQ，MP 和∠MNP 的 余弦值即可． 【解答】解：如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点， 则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 （因异面直线，]）， 可知 MN=AB1=， NP=BC1=； 作 BC 中点 Q，则△PQM 为直角三角形； ∵PQ=1，MQ=AC， △ABC 中，由余弦得 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣） =7， ∴AC=， ∴MQ=； 在△MQP 中，MP==； 在△PMN 中，由余弦得 cos∠MNP===﹣； 又异面直线 所成角的余弦值为． 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中 的平行关系应用问题，是中档题． 11．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值 点，则 f（x）的极小值为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解 函数的极小值即可． 【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1， 可得 f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1， x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点， 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得 a=﹣1． 可得 f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1， =（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当 x＜﹣2 或 x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是 减函数， x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考 查计算能力． 12．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则?（+）的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公 式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点， 则 A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）， 设 P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）， 则?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣] ∴当 x=0，y=时，取得最小值 2×（﹣）=﹣， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标 法是解决本题的关键． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机 取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX= ． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足重复试验，是一个二项分布模型，其 中，p=，n=100， 则 DX=npq=np（1﹣p）=100××=． 故答案为：． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项 分布是解题的关键． 14．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）函数 f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值 是1． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣， 令 cosx=t 且 t∈[0，1]， 则 f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1， 当 t=时，f（t）max=1， 即 f（x）的最大值为 1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 15．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 = ． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解 即可． 【解答】解：等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10， 可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1， Sn=，=， 则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 16．（5 分）（2017?新课标Ⅱ）已知 F 是抛物线x 的焦点，M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则FN= 6 ． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线），M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：， FN=2FM=2=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第 17～21 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）（2017?新课标Ⅱ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 sin（A+C）=8sin2． （1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 面积为 2，求 b． 【分析】（1）利用三角形的内角和可知 A+C=π﹣B，再利用公式化简 sin （A+C），利用降幂公式化简 8sin2，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB， （2）由（1）可知 sinB=，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦即可求出 b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=； （2）由（1）可知 sinB=， ∵S△ABC=ac?sinB=2， ∴ac=， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×× =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的面积公式，二倍角公式和同 角的三角函数的关系，属于中档题 18．（12 分）（2017?新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法 的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg），其频率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到）． 附： P（K2≥k） K K2=． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率， 即可求得其概率； （2）完成 2×2 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认 为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其平均数． 【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新 养殖法的箱产量不低于 50kg”， 由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（++++）×5=， 故 P（B）的估计值， 新养殖法的箱产量不低于 50kg：（+++）×5=， 故 P（C）的估计值为， 则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=×=； ∴A 发生的概率为； （2）2×2 列联表： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则 K2=≈， 由＞， ∴有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由题意可知：方法一：=5×（×+×+×+×+×+×+×）， =5×， =（kg）． 新养殖法箱产量的中位数的估计值（kg） 方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的 面积： （++）×5=， 箱产量低于 55kg 的直方图面积为： （+++）×5=＞， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈（kg）， 新养殖法箱产量的中位数的估计值（kg）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查性检验，考查计算能力，属 于中档题． 19．（12 分）（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角 形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣AB ﹣D 的余弦值． 【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CE∥BF，利用直线与平面 平行的判定证明即可． （2）利用已知条件求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值即可． 【解答】（1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点， 所以 EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD， ∴BCEF 是平行四边形，可得 CE∥BF，BF? 平面 PAB，CF?平面 PAB， ∴直线 CE∥平面 PAB； （2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中， 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． 取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=， ∴∠PCO=60°，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°， 可得：BN=MN，CN=MN，BC=1， 可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=， 作 NQ⊥AB 于 Q，连接 MQ， 所以∠MQN 就是二面角 M﹣AB﹣D 的平面角，MQ= =， 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值为：=． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定的应用，二面角的平面角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力． 20．（12 分）（2017?新课标Ⅱ）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的 坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的 坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜 率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证． 【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足=． 可得（x﹣x0，y）=（0，y0）， 可得 x﹣x0=0，y=y0， 即有 x0=x，y0=， 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2； （2）证明：设 Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π）， ?=1，可得（cosα，sinα）?（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1， 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1， 解得 m=， 即有 Q（﹣3，）， 椭圆+y2=1 的左焦点 F（﹣1，0）， 由 kOQ=﹣， kPF=， 由 kOQ?kPF=﹣1， 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考 查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直 线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21．（12 分）（2017?新课标Ⅱ）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【分析】（1）通过分析可知 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利 用 h′（x）=a﹣可得 h（x）min=h（），从而可得结论； （2）通过（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记 t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 解不等式可知 t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知 f′（x）=0 存在两根 x0， x2，利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0 及 x0＜可知 f（x0）＜，另一方面可知 f （x0）＞f（）=． 【解答】（1）解：因为 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0， 因为 h′（x）=a﹣，且当 0＜x＜时 h′（x）＜0、当 x＞时 h′（x）＞0， 所以 h（x）min=h（）， 又因为 h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以=1，解得 a=1； （2）证明：由（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 令 f′（x）=0，可得 2x﹣2﹣lnx=0，记 t（x）=2x﹣2﹣lnx，则 t′（x）=2﹣， 令 t′（x）=0，解得：x=， 所以 t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以 t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而 t（x）=0 有解，即 f′（x）=0 存在两根 x0，x2， 且不妨设 f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上 为正， 所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x0﹣2﹣lnx0=0， 所以 f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣， 由 x0＜可知 f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=； 由 f′（）＜0 可知 x0＜＜， 所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 所以 f（x0）＞f（）=； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查思想， 注意解题方法的积累，属于难题． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做， 按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（ 22．（10 分）（2017?新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足OM?OP=16，求点 P 的 轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2，），点 B 在曲线 上，求△OAB 面积的最大值． 【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据OM?OP=16 列方程 化简即可； （2）求出曲线 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线 的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=， ∵OMOP=16， ∴=16， 即（x2+y2）（1+）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点 A 的直角坐标为 A（1，），显然点 A 在曲线， ∴曲线）到弦 OA 的距离 d==， ∴△AOB 的最大面积 S=OA?（2+）=2+． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的，轨迹方程的求解，直线 与圆的关系，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017?新课标Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3=2 为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b） 3≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当=，即 a=b=1 时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3﹣2≤， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a=b=1 时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于 中档题北京华帝燃气灶维修http://5690488.shop.m.liebiao.com/！